ここ数日、色々調べていたのですが、ようやく問題の原因が分かりました。

我が家のサーバを設定したのはずっと昔で、最初はFreeBSD 2.2.5Jの時代でした。
固定IPアドレスを取得した頃からずっと、DNSサーバの設定はそのままだし、djbdnsに何か問題が出たりすることもなかったので、特に設定内容については意識していなかったんです。

今回発見した問題というのは、dnscacheの設定にありました。

dnscacheは、まじめにルートサーバからたどって自分でアドレス解決する設定と、すぐ近くにある（つまり接続しているプロバイダの）サーバに丸投げしてしまう設定があります。
自分で頑張る設定の場合、/var/service/dnscache/root/servers/@ の中にルートサーバのアドレスを書いておきます。
丸投げ設定の場合、/var/service/dnscache/root/servers/@ の中にプロバイダのDNSサーバのアドレスを書き、/var/service/dnscache/env/FORWARDONLY ファイルに 1 を記入します。
で、我が家の設定は、ルートサーバのアドレスを書きつつ、FORWARDONLY に 1 が書いてあるという、よくわからない状態でした。
多分、初心者向けハウツーサイトの情報を理解しないまま設定した結果でしょう。

ま、今まで動いていたのが奇跡だと言えます。
という訳で、無事に問題が解決したので、夜もぐっすり眠れるというものです。